Administratívne údaje o jednotlivcov pochádzajú z údajov Sociálnej poisťovne, registra fyzických osôb, údajov Ministerstva školstva, výskumu, vývoja a mládeže SR a Ústredia práce, sociálnych vecí a rodiny. Údaje o výsledkoch externej časti maturitnej skúšky sú dostupné za obdobie rokov 2009 až 2023, v rokoch 2020 a 2021 testovanie neprebiehalo. Základný odhad vzťahu medzi výsledkami maturity a príjmami vykonávame na vzorke jednotlivcov, ktorých sledujeme počas obdobia 5 a viac rokov po maturite. Do vzorky zahŕňame iba tých jednotlivcov, ktorí počas daného roku odpracovali 12 mesiacov na trvalý pracovný pomer. Sústreďujeme sa na absolventov gymnázií a stredných odborných škôl a zo vzorky vylučujeme konzervatória, umelecké a športové stredné školy. Základný súbor je nevyrovnaným panelom, obsahuje celkovo 588 tis. pozorovaní o mzdách 64 tis. mužoch a 71 tis. žien počas rokov 2015 až 2023.

Najširšie porovnanie je možno vykonať použitím údajov o výsledkoch maturity z predmetu slovenský jazyk a literatúra, keďže zo slovenčiny maturuje 94 % všetkých maturantov. Odhadujeme štyri rôzne špecifikácie:

• Základný „naivný“ model, v ktorom vôbec nekontrolujeme o charakteristiky rodičov:
  \begin{equation}
  w_{ir} = \alpha^p + \beta^p m_{ir} + \gamma^p x_{ir} + \delta^p r + u_{ir}
  \end{equation}V tejto špecifikácii $w_{ir}$ predstavuje logaritmus mzdy jednotlivca $i$ v roku $r$; $m_{ir}$ je vektor výsledkov z maturitnej skúšky, pričom $m_{ir}$ v tomto odhade obsahuje iba výsledok zo slovenského jazyka na škále 0 % – 100 %, t.j. redukuje sa na skalárnú veličinu; $x_{ir}$ je vektor kontrolných veličín – veku, druhej mocniny veku, umelej premennej pre rok maturitnej skúšky a umelej premennej indikujúcej či jednotlivec $i$ mal v roku $r$ dieťa; $δ_r^p$ sú umelé premenné pre čas; $u_{ir}$ je náhodná zložka. Model odhadujeme separátne pre dve pohlavia $p$. Tento jednoduchý model informuje o parciálnej korelácii medzi výsledkami zo slovenčiny a mzdami. Podáva teda veľmi podobnú informáciu ako Graf 9. Ako vysvetľujeme v texte komentára, koeficient $β^p$ nemožno interpretovať kauzálne kvôli problému vynechaných premenných (omitted-variable bias). Chlapci a dievčatá, ktorí lepšie maturujú, často pochádzajú z priaznivejšieho sociodemografického prostredia. To prispieva k lepším výsledkom v škole, ale tiež umožňuje deťom nadobudnúť iné schopnosti, zručnosti a návyky, ktoré neskôr vedú k vyšším mzdám. Preto odhadujeme širší model.
• V druhom základnom type modelu kontrolujeme o charakteristiky rodičov:
  \begin{equation}
  w_{ir} = \alpha^p + \beta^p m_{ir} + \gamma^p x_{ir} + \eta^p z_{ir} + \delta^p r + u_{ir}
  \end{equation}Vektor $z_{ir}$ obsahuje charakteristiky rodičov, konkrétne či majú matka a otec vysokoškolské vzdelanie a do ktorého príjmového kvartilu rodičia patria. Zohľadňujeme podiel priemerného mesačného príjmu rodičov a priemernej mzdy rok pred ukončením maturity, v roku ukončenia a rok po. Administratívne údaje nám umožňujú kontrolovať aj o iné charakteristiky rodičov, ich zahrnutie do modelu však nevedie k významnej zmene odhadov. Takáto špecifikácia kontroluje o pozorované charakteristiky rodičov. Na výsledky v škole a neskoršie mzdy jednotlivcov však vplývajú aj vlastnosti rodičov, ktoré nezachytávajú administratívne dáta. Tie je možné zachytiť fixnými efektami, preto odhadujeme ďalšiu špecifikáciu:
• Tretí typ modelu obsahuje fixný efekt pre skupinu bratov/sestier $\kappa_{s(i)}$:
  \begin{equation}
  w_{ir} = \alpha^p + \beta^p m_{ir} + \gamma^p x_{ir} + \kappa_{S(i)} + \delta^p r + u_{ir}
  \end{equation}Premenná predstavuje fixný efekt pre skupinu súrodencov s. Výhodou tejto estimácie je, že očisťuje aj o nepozorované vlastnosti rodičov. Nevýhodou je, že z modelu je potrebné vylúčiť nielen „jedináčikov,“ ale aj všetkých mužov, ktorí nemajú bratov a všetky ženy, ktoré nemajú sestry. Okrem toho, odhad je vykonaný na základe rozdielov v maturite a v mzdách medzi bratmi (v odhade pre mužov), resp. medzi sestrami (v odhade pre ženy). Model vôbec nevyužíva varianciu medzi skupinami súrodencov, iba variáciu v rámci týchto skupín. To znižuje silu odhadov.
• Štvrtý typ modelu zahŕňa fixné efekt pre skupinu dvojičiek $λ_{d(i)}$:
  \begin{equation}
  w_{ir} = \alpha^p + \beta^p m_{ir} + \gamma^p x_{ir} + \lambda_{d(i)} + \delta^p r + u_{ir}
  \end{equation}Výhodou takéhoto prístupu je, že umožňuje kontrolovať nielen pre charakteristiky rodičov, ale aj o vrodené charakteristiky. Možno totiž predpokladať, že rozdiely vo vrodených charakteristikách sú v prípade dvojičiek veľmi malé. Nevýhodou tohto prístupu je, že výrazne redukuje veľkosť vzorky.

Tabuľka A1 v prílohe obsahuje výsledky týchto štyroch špecifikácií pre mužov a ženy. Za všimnutie stojí, že koeficienty pre slovenčinu klesajú ako postupne prechádzame od špecifikácie 1 k špecifikácii 3. Pridávanie ďalších kontrolných premenných postupne znižuje skreslenie koeficientu. Prechod na „dvojičkový“ model vedie k odlišnému odhadu, čo treba pripísať skresleniu z obmedzenej vzorky (small-sample bias). „Dvojičkové“ modely pracujú ani nie so stotinou všetkých pozorovaní.

Našou preferovanou špecifikáciou je verzia č. 2 s charakteristikami rodičov. Na rozdiel od verzia č. 3 s fixnými efektami, tento model využíva aj varianciu medzi skupinami bratov/sestier a umožňuje výsledky odhadnúť na väčšej vzorke. V neposlednom rade, maturitný test je veľmi zašumeným indikátorom schopností a zručností jednotlivcov v čase ukončenia strednej školy. Chyba merania vytvára skreslenie koeficientov smerom nadol (measurment-error bias). Z tohto dôvodu preferujeme špecifikáciu, ktorá poskytuje vyššie odhady, keďže tie sú pravdepodobne bližšie k skutočným efektom.

Z pohľadu na výsledky v Tabuľke A1 je zrejmé, že efekty maturity zo slovenského jazyka na príjmy mužov sú iné ako na príjmy žien (výsledky testov štatistickej významnosti rozdielu koeficientov medzi mužmi a ženami sú dostupné na požiadanie). Pre jednoduchšiu interpretáciu však odhadujeme aj model, kde spojíme mužov a ženy do jednej vzorky. Odhadujeme verziu č. 2 s charakteristikami rodičov. Do matice $x_{ir}$ namiesto umelej premennej indikujúcej, či jednotlivec má dieťa, pridávame kategorickú premennú, ktorá rozdeľuje jednotlivcov na 1) bezdetných mužov, 2) otcov, 3) bezdetné ženy a 4) matky. Takýto model poskytuje odhad priemerného efektu maturity na príjmy.

Pri interpretácii výsledkov je potrebné zohľadniť, že koeficienty udávajú v vplyvy v logaritmických bodoch, ktoré sa pri vyšších hodnotách mierne líšia od percentuálnych vplyvov. Napr. rozdiely medzi príjmami detí rodičov z štvrtého príjmového kvartilu sú o 0,092 logaritmického bodu vyššie ako príjmy detí rodičov z prvého kvartilu (hodnota vyznačená farebne v Tabuľka A2). To predstavuje $e^{0,092}$-1 = 10 %.

Odhady následne rozširujeme o údaje o maturite z cudzieho jazyka a literatúry. Ako vysvetľujeme v texte, chlapci a dievčatá, ktorí maturujú lepšie zo slovenčiny typicky maturujú lepšie aj z ostatných predmetov. Využívame, že všetci študenti maturujú z aspoň jedného cudzieho jazyka a táto maturita má aj externú formu. Z ostatných predmetov má externú formu iba matematika. Vektor m_ir v rozšírenom modeli preto obsahuje:

• Výsledok zo slovenského jazyka a literatúry na škále 0-1
• Výsledok z cudzieho jazyka na škále 0-1
• Umelú premennú indikujúcu modul cudzieho jazyka, konkrétne či ide o 1) modul B1 , 2) modul B2 alebo 3) modul B2 na gymnáziu v roku 2012. V roku 2012 sa totiž na gymnáziách stala maturita z modulu B2 povinnou. Kým dovtedy si náročnejší modul B2 volili pravdepodobne do väčšej miery jazykovo nadanejší študenti, od roku 2012 sa B2 stal povinný pre všetkých gymnazistov. To spôsobilo, že peňažná „návratnosť“ modulu B2 klesla (čo potvrdzujú aj výsledky odhadov).
• Umelú premennú indikujúcu, či jednotlivec maturoval z matematiky.

Opäť odhadujeme 4 verzie modelov a spoločný model pre obe pohlavia. Výsledky poskytuje Tabuľka A2. Priemerné návratnosti slovenčiny, cudzieho jazyka, modulu cudzieho jazyka a matematiky, ktoré sme uviedli v texte, pochádzajú práve zo spoločného modelu a v Tabuľke A2 sú vyznačené farebne. Z porovnania výsledkov pre mužov a ženy je tiež zrejmá vyššia citlivosť príjmov mužov na matematiku a žien na slovenský jazyk a cudzie jazyky (výsledky štatistických testov sú dostupné na požiadanie).

Aby sme odhadli návratnosť výsledku maturitnej skúšky z matematiky vo forme príjmov, musíme obmedziť vzorku na tých, čo z matematiky maturovali. Umelú binárnu premennú indikujúcu či jednotlivec maturoval z matematiky nahrádzane výsledkom z matematiky. Výsledky týchto odhadov obsahuje Tabuľka A3.

V žiadnom z doteraz prezentovaných modelov na pravej strane nevystupuje informácia, či jednotlivec má vysokoškolské vzdelanie. Je to tak preto, že vysoká škola je jeden z kanálov, ktorý umožňuje žiakom a žiačkam zúročiť vedomosti nadobudnuté na strednej škole. Inými slovami, vedomosti a schopnosti získané počas stredoškolského štúdia ovplyvňujú neskoršie mzdy priamo, ale aj nepriamo tým, že zvyšujú šancu a motiváciu pokračovať v štúdiu na vysokej škole. Doteraz estimované modely odhadujú celkové efekty maturity na mzdy, doplnenie premennej indikujúcej či jednotlivci majú vysokoškolské vzdelanie do modelu umožní tieto efekty rozdeliť na priame a nepriame.

Model s charakteristikami rodičov môžeme rozšíriť o umelú premennú pre vysokú školu $vs_{ir}$:
\begin{equation}
w_{ir} = \alpha_2^p + \beta_2^p m_{ir} + \mu^p vs_{ir} + \gamma_2^p x_{ir} + \eta_2^p z_{ir} + \delta_2^p r + u_{2ir}
\end{equation}Pre interpretáciu koeficientov z tohto modelu je vhodné zapísať lineárny pravdepodobnostný model predikujúci ako pravdepodobnosť štúdia na VŠ závisí od výsledku maturity:
\begin{equation}
vs_{ir} = \alpha_3^p + \beta_3^p m_{ir} + \gamma_3^p x_{ir} + \eta_3^p z_{ir} + \delta_3^p r + u_{3ir}
\end{equation}Celkový efekt maturity na mzdu možno vypočítať ako $β_2^p+ μ^p β_3^p$. Je možné analyticky ukázať, že súčet $β_2^p+ μ^p β_3^p$ je práve rovný koeficientu (resp. vektoru koeficientov) $β^p$ z odhadu bez premennej $vs_{ir}$.

Tabuľka A4 a A5 obsahujú výsledky odhadov s vysokou školou (Tabuľka A4 pre všetkých žiakov bez výsledku z matematiky, Tabuľka A5 pre maturujúcich z matematiky s výsledkom z tohto predmetu). Porovnanie s predchádzajúcimi odhadmi ukazuje, že odhadnuté efekty sú približne o tretinu nižšie. Je to tak pre to, že jedna tretina vplyvov maturity na príjmy pôsobí cez efekt pokračovania ma vysokej škole.

Aby sme vzťahy medzi výsledkami rôznych predmetov a mzdami ilustrovali graficky, mierne upravujeme odhadovaný model. Namiesto spojitej premennej zodpovedajúcej výsledku z maturitnej skúšky používame diskrétnu umelú premennú, ktorý rozdeľuje pozorovania do 10 kategórií podľa úspešnosti, 0 % – 10 %, 10 % – 20 %, atď. Následne odhadneme preferovaný model $w_{ir} = \alpha^p + \beta^p m_{ir} + \gamma^p x_{ir} + \eta^p z_{ir} + \delta^p r + u_{ir}$ a vyrobíme grafy parciálnej korelácie. Pre veľký počet pozorovaní sú štandardné bodové grafy neprehľadné a preto ich zjednodušujeme do podoby bublinových grafov 11 až 14.

Pre odhad vplyvu výsledkov maturity na zamestnanosť sa obmedzujeme na odhad s charakteristikami rodičov na pravej strane rovnice. Vzorka pre odhad dopadu na zamestnanosť je väčšia ako pre odhad vplyvu maturity na mzdy, keďže ju rozširujeme aj o roky, kedy jednotlivci neodpracovali 12 mesiacov. Pre jednoduchosť v prílohe uvádzame spoločný model pre obe pohlavia, detailnejšie odhady sú dostupné na vyžiadanie. Vysvetľovanou premennou je počet mesiacov, ktoré jednotlivci v danom roku strávili v evidencii uchádzačov o zamestnanie. Jednoduchý odhad metódou najmenších štvorcov poskytuje informáciu o priemernom efekte na celej populácii. Ako uvádzame v texte, polovica jednotlivcov nestrávila v nezamestnanosti ani jeden mesiac. A aj tí, ktorí sa na úradoch práce registrovali, tak vykonali iba v polovici rokov, počas ktorých ich sledujeme. Výsledkom je, že v troch štvrtinách nášho panelu jednotlivci nie sú nezamestnaní a vplyv hypotetického lepšieho výsledku maturity na ich zamestnanosť je preto nulová a priemerný vplyv maturity na zamestnanosť je preto relatívne nízky. Ľavý panel tabuľky A6 udáva efekty v mesiacoch za rok. Aby ich bolo možné porovnať s efektami na mzdy z Tabuľky A3, je vhodné predeliť ich priemerným počtom odpracovaných mesiacov v našej vzorke, ktorý je 8 a takto získať percentuálny efekt. Po takejto úprave vidíme, že efekty na zamestnanosť sú približne štvrtinové oproti efektom na priemerné mzdy.

Z pohľadu tvorcu hospodárskej politiky je však priemerný efekt maturity na zamestnanosť všetkých málo zaujímavý, dôležitejší je vplyv na tých, ktorí sa v nezamestnanosti ocitajú. Aby sme odhadli vplyv na túto skupinu ľudí, môžeme obmedziť vzorku. To však nevyužíva všetku varianciu v dátach. Lepším riešením je odhadnúť Tobitov model, ktorý zohľadňuje, že počet mesiacov v nezamestnanosti za rok nemôže klesnúť pod nulu (a nemôže presiahnutá hodnotu 12). Výsledky tohto odhadu udáva pravý panel tabuľky A7. Efekty sú približne štyrikrát väčšie než priemerné vplyvy na celej vzorke odhadnuté metódou OLS. To je spôsobené práve tým, že iba v štvrtine panelu pozorujeme nenulový počet mesiacov v nezamestnanosti.

Aby sme odhadli, ako sa vplyv maturity mení s vekom (resp. s časom uplynutým od momentu ukončenia strednej školy), môžeme všetky indikátory maturity interagovať s časovou premennou. To by však viedlo k veľkému a neprehľadnému množstvu odhadnutých koeficientov. Namiesto toho odhady čo najviac zjednodušujeme. V prvom kroku odhadneme pre mužov aj ženy spoločný model, v ktorom kombinujeme všetky dostupné ukazovatele maturity:
\begin{equation}
w_{ir} = \alpha + \beta m_{ir} + \gamma x_{ir} + \eta z_{ir} + \delta r + u_{ir}
\end{equation}Vektor $m_{ir}$ obsahuje informácie o:

• Výsledku zo slovenského jazyka a literatúry na škále 0-1
• Výsledku z cudzieho jazyka na škále 0-1
• Umelú premennú indikujúcu modul cudzieho jazyka
• Umelú premennú indikujúcu, či jednotlivec maturoval z matematiky.
• Premennú, ktorá je pre maturantov z matematiky rovná rozdielu úspešnosti daného jednotlivca a priemernej úspešnosti vo vzorke, inak je rovná nule.

Na rozdiel od predchádzajúcich špecifikácii, vektor kontrolných premenných $x_{ir}$ obsahuje umelé premenné pre vek, nie vek a druhú mocninu veku.

Následne vypočítame agregátny index úspešnosti v maturitnej skúške (AM), kde ako váhy jednotlivých predmetov použijeme koeficienty β z odhadnutej regresie, t.j.:
\begin{equation}
AM_{ir} = \beta m_{ir}
\end{equation}Takto odhadnutý index je potrebné brať s istou dávkou rezervy. Vyššie hodnoty interpretujeme, že jednotlivec „zmaturoval lepšie.“ Presnejšou interpretáciou je, že jednotlivec zmaturoval tak, „že jeho očakávané príjmy v období približne 6 až 14 rokov po maturite sú vyššie.“ Váhy jednotlivých predmetov totiž zodpovedajú ich peňažnej návratnosti.

Pre lepšiu interpretáciu index normalizujeme tak, by rozdiel priemernej hodnoty v prvom a štvrtom kvartile bol rovný jednej. Následne odhadujeme model:
\begin{equation}
w_{ir} = \alpha + \sum_t I(t = r – rm_i) \beta_t AM_{ir} + \gamma \mathbf{x}_{ir} + \eta \mathbf{z}_{ir} + \delta_r + u_{ir}
\end{equation}kde $rm_i$ je rok v ktorom jednotlivec i maturoval a rozdiel $r-rm_i$ predstavuje počet rokov uplynutých od maturity. Koeficienty $β_t$ predstavujú návratnosť maturity t rokov po skončení strednej školy. Keďže AM sme normalizovali, $β_t$ možno interpretovať ako rozdiel logaritmu priemernej mesačnej mzdy medzi jednotlivcami v prvom a štvrtom kvartile agregátneho indexu AM. Graf 18 uvádza hodnoty koeficientov $β_t$. Všetky koeficienty sú významné na hladine 1 %, detailné odhady sú dostupné na požiadanie.

Alternatívnym spôsobom by bolo prisúdiť predmetom váhy arbitrárne, napr. jednu tretinu slovenskému jazyku, tretinu cudziemu jazyku a tretinu matematiky. Takto skonštruovaný index taktiež vedie k záveru, že vplyv maturity na príjmy časom rastie.

Aby sme odhadli, nakoľko sa vplyv príjmov rodičov na mzdy detí prejavuje u žiakov z rôznych príjmových skupín rozdeľujeme žiakov do decilov podľa indexu AM a následne odhadneme regresiu pre oba pohlavia spolu, kde decil indexu AM interagujeme s kvartilom príjmov rodičov. Kontrolujeme pre tie isté premenné ako v ostatných špecifikáciách. Výsledky odhadu vizuálne zobrazuje Graf 18. Ten vytvárame rovnako ako Grafy 11-14, detailné výsledky sú dostupné na požiadanie.

Študentov, ktorí pravdepodobne študovali v zahraničí, sme identifikovali na základe administratívnych údajov z viacerých zdrojov. Boli poistencami štátu, ale nepatrili do žiadnej z ostatných kategórií, v ktorých štát preberá platbu poistného. Po skončení maturity resp. štúdia títo študenti neboli zapísaní na žiadnej slovenskej univerzite, neboli zamestnaní, nezamestnaní, ani na materskej dovolenke, či v roli opatrovateľa, a nepoberali ani pomoc v hmotnej núdzi.